После успешного прохождения медицинского контроля с футболистом был подписан контракт сроком на четыре года. Хавбек перебрался в «Кубань» из амстердамского «Аякса».
«Я очень рад переходу в "Кубань", — сказал Озбилиз. — Мне кажется, кубанский клуб — очень хорошая команда, которая готова расти и ставить перед собой новые серьезные задачи. Я смотрел игры желто-зеленых, читал новости на сайтах, и практически на всех матчах 30-тысячный стадион был заполнен. Это, наверное, главное первое впечатление о новом клубе».
Озбилиз дебютировал в основном составе «Аякса» в конце 2010 года. За полтора сезона 22-летний игрок принял участие в 38 матчах, забил четыре гола и столько же раз ассистировал партнерам. В составе амстердамского клуба хавбек дважды становился чемпионом Голландии. В феврале 2012 года Озбилиз дебютировал в составе национальной сборной Армении в товарищеском матче против команды Канады. В стартовом матче футболист провел на поле все 90 минут и стал автором гола, реализовав пенальти.